Correction - Exercices Triangles Semblables 3ème Maths Brevet (PDF + Corrigé)
Aperçu de la correction
Publicité
Correction Exercices Triangles Semblables 3ème (PDF)
Voici la correction détaillée de la fiche d'exercices triangles semblables 3ème. Chaque réponse est rédigée avec la justification complète attendue au brevet. Les calculs de rapport, les démonstrations et le problème concret sont traités intégralement.
✅ Méthode brevet
- Pour démontrer la similitude : trouver 2 angles égaux ou prouver que les 3 rapports de côtés sont égaux.
- Pour calculer une longueur : utiliser la formule longueur cherchée = k × longueur homologue.
- Repérer les côtés homologues : ce sont ceux situés en face des angles égaux.
Correction — Triangles Semblables (3ème)
a. ABC : 45°, 65°, 70°. DEF : 70°, 45°, 65°.
✅ Oui, ces triangles sont semblables.
Les trois angles se retrouvent dans les deux triangles : {45°, 65°, 70°}. Comme tous les angles sont 2 à 2 égaux, les triangles sont semblables.
b. PQR : 90°, 30°, donc le 3e angle = 180 − 90 − 30 = 60°. STU : 60°, 90°, donc le 3e angle = 30°.
✅ Oui, ces triangles sont semblables.
Les deux triangles ont les mêmes trois angles : {30°, 60°, 90°}. (Ce sont des « demi-triangles équilatéraux ».)
c. JKL : 40°, 80°, donc 3e = 60°. MNO : 40°, 70°, donc 3e = 70°.
❌ Non, ces triangles ne sont pas semblables.
Angles de JKL : {40°, 80°, 60°}. Angles de MNO : {40°, 70°, 70°}. Seul l'angle 40° est commun. Les autres angles diffèrent → pas de similitude.
Calcul des trois rapports :
DEAB = 128 = 1,5
EFBC = 1510 = 1,5
DFAC = 96 = 1,5
✅ Conclusion : les trois rapports sont égaux à 1,5. Les côtés sont donc proportionnels.
Les triangles ABC et DEF sont semblables, de rapport de similitude k = 1,5 (le triangle DEF est un agrandissement du triangle ABC).
1. Rapport de similitude k
k = UVRS = 12,55 = 2,5
2. Longueur VW (côté homologue à ST)
VW = k × ST = 2,5 × 7 = 17,5 cm
3. Longueur UW (côté homologue à RT)
UW = k × RT = 2,5 × 6 = 15 cm
1. Démonstration que ABC et ADE sont semblables
• L'angle ∠BAC et l'angle ∠DAE sont le même angle (l'angle de sommet A) : ils sont donc égaux.
• Les droites (BC) et (DE) sont parallèles. Or, lorsque deux droites parallèles sont coupées par une sécante (ici (AD)), les angles correspondants sont égaux. Donc ∠ABC = ∠ADE.
• Les deux triangles ABC et ADE ont donc deux angles égaux deux à deux.
✅ D'après le critère de similitude, les triangles ABC et ADE sont semblables.
2. Calcul de DE
On a AB = 4 cm et BD = 6 cm, donc AD = AB + BD = 4 + 6 = 10 cm.
Le rapport de similitude est k = ADAB = 104 = 2,5
Le côté DE est homologue à BC. Donc :
DE = k × BC = 2,5 × 3 = 7,5 cm
1. Pourquoi les triangles sont semblables
Les deux triangles formés par (le piquet et son ombre) et (l'arbre et son ombre) sont tous deux rectangles (piquet et arbre verticaux, ombres horizontales). Ils ont donc chacun un angle droit (90°).
Les rayons du soleil sont parallèles (le soleil est très éloigné), donc l'angle entre le rayon et le sol est le même pour le piquet et pour l'arbre.
✅ Avec 2 angles égaux deux à deux, les deux triangles sont semblables.
2. Calcul de la hauteur de l'arbre
Le rapport de similitude k = ombre arbreombre piquet = 5,61,2
Donc : hauteur arbre = k × hauteur piquet = 5,61,2 × 1,5 = 8,41,2 = 7 m
L'arbre mesure donc 7 mètres de haut.
1. Si ABC ~ A'B'C' avec k = 2 :
✅ A'B' = 2 × AB (k multiplie les côtés, pas les angles)
2. Deux triangles équilatéraux quelconques sont :
✅ Toujours semblables (tous les angles font 60°, donc 3 angles égaux 2 à 2)
3. Deux triangles avec un angle de 90° et un angle de 45° sont :
✅ Semblables (le 3e angle vaut forcément 45° : ce sont des demi-carrés)
4. Le rapport de similitude k :
✅ S'applique aux côtés ✅ Peut être inférieur à 1 (k < 1 = réduction, k > 1 = agrandissement)
- Exercice 1 — 3 pts (1 pt par cas, avec justification)
- Exercice 2 — 3 pts (2 pts pour les rapports + 1 pt pour la conclusion)
- Exercice 3 — 3 pts (1 pt pour k, 1 pt par longueur)
- Exercice 4 — 5 pts (3 pts pour la démonstration, 2 pts pour le calcul)
- Exercice 5 — 4 pts (2 pts pour la justification, 2 pts pour le calcul)
- Exercice 6 — 2 pts (0,5 pt par question correcte)
Conclusion — réussir les triangles semblables au brevet
Les triangles semblables font partie des chapitres « rentables » au brevet : la méthode est très codifiée et les questions se ressemblent d'une année à l'autre. La rédaction-type que tu as vue dans l'exercice 4 (justifier 2 angles égaux → conclure à la similitude → calculer k → en déduire une longueur) suffit à valider l'essentiel des questions du brevet.
Si tu hésites, retiens les 3 réflexes : (1) écris la correspondance des sommets (A↔A', B↔B', C↔C'), (2) calcule k à partir d'un côté connu, (3) applique k aux autres côtés. Avec ça, tu seras prêt·e pour le brevet.