Correction - Exercices Calculs Littéraux 4ème (PDF + Corrigé) - Développer, factoriser, identités remarquables
Aperçu de la correction
Correction des exercices de calculs littéraux — 4ème
Voici la correction complète des exercices sur les calculs littéraux en 4ème. Chaque étape de calcul est détaillée pour permettre à l'élève de comprendre la méthode et de repérer ses erreurs.
CORRECTION — EXERCICES DE MATHÉMATIQUES
Calculs littéraux — 4ème
Exercice 1 — Réduire et ordonner une expression littérale (3 points)
a) A = 3x + 5 − 7x + 2
A = (3x − 7x) + (5 + 2) = −4x + 7
b) B = 4x² − 3x + 2x² + 7x − 1
B = (4x² + 2x²) + (−3x + 7x) − 1 = 6x² + 4x − 1
c) C = 5x − 2x² + 3 + x² − 4x + 1
C = (−2x² + x²) + (5x − 4x) + (3 + 1) = −x² + x + 4
d) D = 2x³ − x + 5x² − 3x³ + 4x − 2
D = (2x³ − 3x³) + 5x² + (−x + 4x) − 2 = −x³ + 5x² + 3x − 2
e) E = −3x² + 7 − 5x + 3x² + 5x
E = (−3x² + 3x²) + (−5x + 5x) + 7 = 7
→ Tous les termes en x s'annulent ! L'expression est une constante.
f) F = x² − 4x + 3 − 2x² + 4x − 3
F = (x² − 2x²) + (−4x + 4x) + (3 − 3) = −x²
Exercice 2 — Développer avec la simple distributivité (3 points)
a) A = 3(2x + 5) = 3 × 2x + 3 × 5 = 6x + 15
b) B = −2(4x − 3) = (−2) × 4x + (−2) × (−3) = −8x + 6
→ Attention : (−2) × (−3) = +6 (moins par moins = plus)
c) C = 5x(3x − 2) = 5x × 3x + 5x × (−2) = 15x² − 10x
d) D = −x(2x + 7) = (−x) × 2x + (−x) × 7 = −2x² − 7x
e) E = 3(2x − 1) + 4(x + 5)
E = 6x − 3 + 4x + 20 = 10x + 17
f) F = 5(x + 3) − 2(3x − 4)
F = 5x + 15 − 6x + 8 = −x + 23
→ Attention au signe « − » devant 2(3x − 4) : on distribue −2, donc −2 × (−4) = +8
Exercice 3 — Développer avec la double distributivité (4 points)
a) A = (x + 3)(x + 5)
A = x × x + x × 5 + 3 × x + 3 × 5
A = x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15
b) B = (2x − 1)(x + 4)
B = 2x × x + 2x × 4 + (−1) × x + (−1) × 4
B = 2x² + 8x − x − 4 = 2x² + 7x − 4
c) C = (3x + 2)(2x − 3)
C = 3x × 2x + 3x × (−3) + 2 × 2x + 2 × (−3)
C = 6x² − 9x + 4x − 6 = 6x² − 5x − 6
d) D = (x − 5)(x − 7)
D = x × x + x × (−7) + (−5) × x + (−5) × (−7)
D = x² − 7x − 5x + 35 = x² − 12x + 35
e) E = (4x + 1)(3x − 2)
E = 4x × 3x + 4x × (−2) + 1 × 3x + 1 × (−2)
E = 12x² − 8x + 3x − 2 = 12x² − 5x − 2
f) F = (2x − 3)(2x + 3)
F = 4x² + 6x − 6x − 9 = 4x² − 9
→ On reconnaît (a − b)(a + b) = a² − b² avec a = 2x et b = 3.
Exercice 4 — Identités remarquables (4 points)
1. Développer :
a) A = (x + 4)² — identité (a + b)² avec a = x, b = 4
A = x² + 2 × x × 4 + 4² = x² + 8x + 16
b) B = (3x − 2)² — identité (a − b)² avec a = 3x, b = 2
B = (3x)² − 2 × 3x × 2 + 2² = 9x² − 12x + 4
c) C = (5x + 1)² — identité (a + b)² avec a = 5x, b = 1
C = (5x)² + 2 × 5x × 1 + 1² = 25x² + 10x + 1
d) D = (x + 6)(x − 6) — identité (a + b)(a − b) avec a = x, b = 6
D = x² − 6² = x² − 36
2. Calcul mental :
a) 101² = (100 + 1)² = 100² + 2 × 100 × 1 + 1² = 10 000 + 200 + 1 = 10 201
b) 99² = (100 − 1)² = 100² − 2 × 100 × 1 + 1² = 10 000 − 200 + 1 = 9 801
c) 52 × 48 = (50 + 2)(50 − 2) = 50² − 2² = 2 500 − 4 = 2 496
d) 203² = (200 + 3)² = 200² + 2 × 200 × 3 + 3² = 40 000 + 1 200 + 9 = 41 209
Exercice 5 — Factoriser une expression (4 points)
1. Factoriser par le facteur commun :
a) A = 6x + 18 — facteur commun : 6
A = 6(x + 3)
b) B = 4x² − 10x — facteur commun : 2x
B = 2x(2x − 5)
c) C = 3x² + 12x — facteur commun : 3x
C = 3x(x + 4)
d) D = 15x³ − 5x² + 10x — facteur commun : 5x
D = 5x(3x² − x + 2)
2. Factoriser avec les identités remarquables :
a) E = x² + 6x + 9 — on reconnaît a² + 2ab + b² avec a = x, b = 3
E = (x + 3)²
→ Vérification : 2 × x × 3 = 6x ✓
b) F = x² − 10x + 25 — on reconnaît a² − 2ab + b² avec a = x, b = 5
F = (x − 5)²
→ Vérification : 2 × x × 5 = 10x ✓
c) G = 4x² − 9 — on reconnaît a² − b² avec a = 2x, b = 3
G = (2x + 3)(2x − 3)
d) H = 9x² − 24x + 16 — on reconnaît a² − 2ab + b² avec a = 3x, b = 4
H = (3x − 4)²
→ Vérification : 2 × 3x × 4 = 24x ✓ et (3x)² = 9x², 4² = 16 ✓
Exercice 6 — Problèmes avec expressions littérales (2 points)
1.a) Aire = longueur × largeur = (2x + 3)(x − 1)
Aire = 2x × x + 2x × (−1) + 3 × x + 3 × (−1)
Aire = 2x² − 2x + 3x − 3 = 2x² + x − 3
1.b) Pour x = 5 :
Aire = 2 × 5² + 5 − 3 = 2 × 25 + 5 − 3 = 50 + 5 − 3 = 52 m²
→ Vérification : longueur = 2×5+3 = 13 m, largeur = 5−1 = 4 m, aire = 13×4 = 52 m² ✓
2. Montrons que (n + 1)² − (n − 1)² est un multiple de 4.
On utilise l'identité (a + b)(a − b) = a² − b² avec a = (n+1) et b = (n−1) :
(n + 1)² − (n − 1)² = [(n + 1) + (n − 1)] × [(n + 1) − (n − 1)]
= [n + 1 + n − 1] × [n + 1 − n + 1]
= 2n × 2
= 4n
→ 4n est bien un multiple de 4 pour tout entier n. CQFD.
— Fin de la correction —
Les erreurs les plus fréquentes à éviter
L'erreur n°1 en calcul littéral est la gestion des signes négatifs. Quand on développe −2(3x − 4), beaucoup d'élèves écrivent −6x − 8 au lieu de −6x + 8. La règle est simple : « moins par moins égale plus ».
Autre piège très fréquent : confondre (3x)² et 3x². Le premier vaut 9x² (on met au carré le produit entier), le second vaut 3 × x² = 3x² (seul x est au carré). Cette distinction est cruciale pour les identités remarquables.
En factorisation, l'erreur classique est d'oublier un terme dans le facteur commun. Par exemple, dans 4x² − 10x, le facteur commun est 2x (et non pas 2 ou x). Il faut toujours chercher le plus grand facteur commun possible.
- Après un développement : remplace x par une valeur simple (x = 1 ou x = 2) dans l'expression de départ ET dans ton résultat → tu dois obtenir le même nombre
- Après une factorisation : redéveloppe ton résultat → tu dois retomber sur l'expression de départ
- Pour les identités remarquables : vérifie que le double produit (2ab) correspond bien au terme du milieu