Chaque corrigé donne la démonstration rédigée ligne par ligne — l'hypothèse, le théorème, le calcul des carrés, la racine — puis, sous chaque question, la méthode et l'erreur qu'elle évite.
La démonstration complète, ligne par ligne, dans l'ordre où un correcteur l'attend : le triangle est rectangle en tel sommet, le théorème écrit avec les noms des côtés, le calcul des carrés, puis la racine.
La première ligne n'est pas une formalité : c'est l'hypothèse du théorème, et sans elle rien ne justifie qu'on ait le droit de l'employer.
Chaque question porte en dessous la méthode et l'erreur qu'elle écarte, y compris les contrôles qui coutent dix secondes — l'hypoténuse est le plus grand côté, un carré n'est jamais négatif, un côté de l'angle droit est plus court que l'hypoténuse.
Toutes les racines sont données sous forme exacte avant leur arrondi, et simplifiées quand elles peuvent l'être : √56 s'écrit 2√14.
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Reconnaitre l'hypoténuse
Trois triangles, trois orientations — et une seule règle pour les lire.
Les trois sommets d'angle droit et les trois hypoténuses.
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Le tableau complété, et la façon de repérer un carré parfait.
Les carrés parfaits de 1 à 144 sont au programme, et les connaitre fait gagner ce coup d'œil.
L'hypothèse
Le théorème
Les carrés
La racine
Le barème, exercice par exercice total : 20 points
Exercice 1 — Deux triangles, deux hypoténuses8 points
Rédige la démonstration complète pour chacun. Le second ne tombe pas rond, et ce n'est pas une erreur.
Quatre lignes : le triangle est rectangle, le théorème, le calcul des carrés, la racine. Aucune ne se saute.
√13 n'est pas un nombre décimal : il ne s'écrit ni avec deux chiffres après la virgule ni avec mille. La valeur exacte est √13, et 3,6 en est seulement l'arrondi.
Exercice 2 — Un tableau à compléter6 points
Les deux premières colonnes donnent les côtés de l'angle droit. Complète les trois autres.
La colonne du carré est celle qu'on remplit en premier : c'est là que le théorème agit. Les deux suivantes ne sont plus que de l'écriture.
Les carrés parfaits de 1 à 144 sont au programme, et les connaitre fait gagner ce coup d'œil.
Exercice 3 — Rédiger comme on l'attend6 points
Une réponse juste mal rédigée perd des points. Voici ce qu'un correcteur cherche.
C'est l'hypothèse du théorème. L'écrire, ce n'est pas une formalité : c'est ce qui rend la suite valide.
Un résultat juste sans les étapes vaut rarement tous les points, parce qu'il ne prouve pas que le raisonnement a eu lieu.
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Calculer un côté de l'angle droit
L'hypoténuse est connue : l'addition devient une soustraction.
Les deux démonstrations, dont l'étape d'isolement du carré cherché.
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Les quatre contrôles appliqués, et l'inégalité triangulaire.
L'inégalité triangulaire est stricte : une somme exactement égale au troisième côté donne un triangle aplati, c'est-à-dire pas un triangle.
Le plus grand côté
Encadrer
Carré positif
Inégalité triangulaire
Le barème, exercice par exercice total : 20 points
Exercice 1 — Une réponse impossible8 points
Un élève a calculé l'hypoténuse de ce triangle et trouvé 5 cm. Sans refaire son calcul, montre que c'est faux.
Ce raisonnement n'utilise aucun calcul : il repose seulement sur la définition de l'hypoténuse.
L'encadrement se lit sans calcul et suffit souvent à repérer une erreur d'un facteur 10.
Le calcul confirme l'encadrement — et si ce n'avait pas été le cas, c'est le calcul qu'il aurait fallu reprendre.
Exercice 2 — Quatre contrôles à connaitre6 points
Lis-les, puis applique-les aux réponses proposées ci-dessous.
L'erreur vient presque toujours d'une addition faite à la place d'une soustraction.
On vérifie l'existence du triangle AVANT de se demander s'il est rectangle : un triangle qui n'existe pas n'a aucune propriété.
Exercice 3 — Deux réponses à juger6 points
Sans refaire les calculs, dis si ces résultats sont plausibles.
20, 21 et 29 forment un triplet pythagoricien, moins connu que 3-4-5 mais tout aussi exact.
L'inégalité triangulaire est stricte : la somme doit être strictement plus grande.
Ce que le générateur refuse sur ces fiches
Une figure dont le tracé ne porterait pas les longueurs que ses cotes annoncent. Chaque côté dessiné est mesuré et comparé à sa cote : un triangle 3-4-5 ne peut pas paraitre isocèle.
Deux triangles posés dans la même orientation sur la fiche qui fait justement travailler l'orientation.
Un tableau qui ne porterait pas au moins deux hypoténuses irrationnelles — la distinction entre valeur exacte et valeur approchée n'aurait plus rien à montrer.
Une copie déclarée fausse qui porterait pourtant le bon résultat, ou une copie déclarée juste qui ne le porterait pas.
Une égalité qui ne serait pas un carré parfait de la table de 1 à 144.
Une écriture posant une égalité entre une chose et elle-même : « √13 = √13 » ferait croire à une étape de calcul là où il n'y en a pas.
Une valeur approchée affichée pour une racine entière : « √144 ≈ 12,0 » laisserait croire à un arrondi.
Un trait d'union employé comme signe moins, ou tout caractère absent de la police des fiches.
Deux ajouts à l'outillage du site
Le schéma de figures ne dessinait pas les lettres des sommets. Une question demandant de nommer un sommet ou un côté n'avait donc pas de réponse : l'élève voyait un triangle anonyme. Les lettres sont désormais posées à l'opposé du centre de la figure, à distance fixe, de sorte qu'aucune ne tombe sur un trait. Les soixante fiches des six autres articles qui emploient ce schéma ont été régénérées : aucune n'a changé d'un caractère.
Le vérificateur, lui, ne savait pas lire un exposant ni un radical. Il signalait « 49 = 7² » comme une erreur arithmétique et refusait « √144 = 12 ». Il lit maintenant le caractère qui suit chaque segment et celui qui le précède, ce qui lui permet de recalculer les chaînes de ces fiches — vingt-et-une par article — au lieu de les rejeter.
Méthode et vérification
Contenu produit à partir du programme de mathématiques du cycle 4 en vigueur pour la classe de quatrième en 2026-2027 : arrêté du 9 novembre 2015 modifié, BOEN n° 31 du 30 juillet 2020, thèmes A et D. Le nouveau programme (arrêté du 18 février 2026) ne s'applique à ce niveau qu'à la rentrée 2027-2028, en vertu de son article 3 — vérifié au Bulletin officiel. Le moteur `pythagore_4eme` garde chaque racine carrée sous sa forme exacte p√q et calcule son approximation décimale par racine entière sur des entiers, sans aucun nombre à virgule flottante ; les figures sont tracées à l'échelle à partir de leurs longueurs, et le contrôle mesure chaque côté dessiné pour vérifier qu'il porte la cote annoncée.
Rédaction : Fiches ScolairesMise à jour :
Programme de mathématiques du cycle 4, arrêté du 9 novembre 2015 modifié — BOEN n° 31 du 30 juillet 2020, thème D (« Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer ») et thème A (racine carrée, carrés parfaits de 1 à 144, nombres irrationnels).
Arrêté du 18 février 2026 fixant les programmes de français et de mathématiques du cycle 4 — BOEN n° 10 du 5 mars 2026, article 3 (calendrier d'application).
Questions fréquentes
Comment reconnaitre l'hypoténuse d'un triangle rectangle ?
C'est le côté opposé à l'angle droit, c'est-à-dire celui qui joint les deux sommets ne portant pas l'angle droit. On le trouve en cherchant d'abord le petit carré qui code l'angle droit sur la figure, jamais en regardant la position du côté sur la feuille : un triangle posé autrement a toujours la même hypoténuse. C'est aussi le plus grand des trois côtés, et un triangle rectangle n'en a qu'une seule, puisqu'il n'a qu'un seul angle droit.
Quand faut-il additionner et quand faut-il soustraire ?
Cela dépend de ce qu'on cherche, pas de l'énoncé. Si la longueur cherchée est l'hypoténuse, on additionne les carrés des deux côtés de l'angle droit. Si c'est un côté de l'angle droit, on retire son carré à celui de l'hypoténuse. La ligne à écrire est celle qui isole le carré cherché : de BC² = AB² + AC², on tire AC² = BC² − AB². Un contrôle immédiat : un côté de l'angle droit est toujours plus court que l'hypoténuse.
Pourquoi écrit-on √13 plutôt que 3,6 ?
Parce que 3,6 n'est pas √13. La racine carrée de 13 est le nombre dont le carré vaut exactement 13, or 3,6 × 3,6 = 12,96. Aucune écriture décimale ne convient, quel que soit le nombre de chiffres : √13 est un nombre irrationnel, et sa seule écriture exacte est √13. On écrit donc √13 quand on veut être exact, et √13 ≈ 3,6 quand on donne un arrondi — avec le signe ≈, jamais le signe =.
Comment vérifier qu'un résultat est plausible sans refaire le calcul ?
Quatre contrôles suffisent, et aucun ne demande de calculer. L'hypoténuse est le plus grand des trois côtés : un résultat plus petit qu'un côté de l'angle droit est forcément faux. Un côté de l'angle droit est plus court que l'hypoténuse. Un carré n'est jamais négatif — un carré négatif signale une soustraction à l'envers. Enfin, l'inégalité triangulaire : l'hypoténuse est plus petite que la somme des deux autres côtés. Cela donne un encadrement immédiat.
